题目

题型：新疆自治区会考题难度：来源：

已知m∈R，直线l：2mx-（m²+1）y=-4m和圆C：x²+y²-8x+16-8m²=0。
（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，且=-4m²，求圆C的方程。

答案

解：（Ⅰ）∵直线l的方程可化为，
∴直线l的斜率，
又∵圆C的方程为（x-4）²+y²=8m²，
∴m≠0，
①当m>0时，>0
又
∴当m>0时，0＜k≤1；
②当m＜0时，
又
∴当m＜0时，-1≤k＜0，
综上所述k∈[-1，0）∪（0，1]，
即直线ι斜率的取值范围是[-1，0）∪（0，1]；
（Ⅱ）∵圆C：x²+y²-8x+16-8m²=0的圆心为 C（4，0），半
径
又∵直线l与圆C相交于A，B两点，且=-4m²，
∴cos∠ACB
=8m²cos∠ACB=-4m²，
∴cos∠ACB=，
即∠ACB=，
此时圆心C到弦AB（即直线l）的距离为，
化简得m⁴+6m²-7=0，解得m²=1，
∴圆C的方程为x²+y²-8x+8=0。