题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且已知椭圆D：的焦距等于，且过点

( I ) 求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ) 若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

答案

(1) 圆的方程是 ，椭圆的方程为.
(2)利用直线的斜率互为相反数来证明

解析

试题分析：解：（Ⅰ）设圆的半径为，由题意，圆心为，因为，
所以
故圆的方程是 ①
在①中，令解得或，所以
由得，故
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为
由得
设
则 
因为



=0.
所以，
当或时，，此时，对方程，，不合题意.
所以直线与直线的倾斜角互补.
点评：解决该试题的关键是利用待定系数法来和题目中的条件得到关系式，求解得到方程，同时对于直线与椭圆相交时，判定直线的倾斜角互补，只要求解斜率互为相反数即可，属于中档题。