题目
题型:不详难度:来源:
M是PQ中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.
(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C;
(2)当PQ=2时,求直线l的方程;
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.
答案
解析
∴kl=3.又kAC=3,所以当l与m垂直时,l的方程为y=3(x+1),l必过圆心C.
(2)解:①当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意.②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.因为PQ=2,所以CM==1,则由CM==1,得k=,∴直线l:4x-3y+4=0.从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
(3)解:∵CM⊥MN,∴·=(+)·=·+·=·.
①当l与x轴垂直时,易得N,则=.又=(1,3),∴·=·=-5;②当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则由
得N,则=.
∴·=·==-5.
综上,·与直线l的斜率无关,且·=-5.
另解:连结CA并延长交m于点B,连结CM,CN,由题意知AC⊥m,又CM⊥l,∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上,由相交弦定理,得·=-|AM|·|AN|=-|AC|·|AB|=-5.
核心考点
试题【已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过A(-1,0)与圆C相交于P、Q两点,M是PQ中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.(1)求证:当l与m垂直】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM·AN是否为定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由.
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