题目

题型：不详难度：来源：

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

(1)求异面直线B₁C₁与AC所成角的大小；
(2)若该直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为，求点A到平面A₁BC的距离．

答案

（1）45°；（2）.

解析

试题分析：（1）求异面直线所成的角，关键是作出这两条直线所成的角，作法是利用平移思想（即作平行线），当然我们要充分利用图中已有的平行关系作图，如本题中有∥,就不需要另外作平行线了，还要注意的是异面直线所成的角不大于90°；（2）求点到平面的距离，一般要作出垂线段，求垂线段的长，即过点作平面的垂线，首先观察寻找原有图形中的垂直关系，发现可证平面⊥平面，因此我们只要在平面内作,垂足为，则可证为所要求的垂线段，其长即为要求的距离.另外由于点，平面所在的三棱锥的体积很容易求得，故也可用体积法求解.
试题解析：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角（或它的补角），（2分）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴∠ACB=45°，
∴异面直线B₁C₁与AC所成角为45°．（4分）
（2）∵，三棱柱的体积.
∴,（2分）
∵⊥平面₁，∴，,
设点A到平面A₁BC的距离为h，（4分）
三棱锥A₁-ABC的体积V==三棱锥A-A₁BC的体积V=,（6分）
∴.（8分）