题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱,,底面为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O为AD中点.

(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.

答案

（1）与平面所成角的余弦值为；（2）点到平面的距离；（3）存在，.

解析

试题分析： 思路一、由PA="PD," O为AD中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形中,易得所以可以为坐标原点,为轴,为轴,
为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解. 思路二、（1）易得平面，所以即为所求.(2)由于，从而平面，所以可转化为求点到平面.(3)假设存在，过Q作，垂足为，过作，垂足为M，则即为二面角的平面角.设，利用求出，若，则存在，否则就不存在.
试题解析：(1) 在△PAD中PA="PD," O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD="AD," 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形中,易得;
所以以为坐标原点,为轴,为轴,
为轴建立空间直角坐标系.
则,,，;
,易证:,
所以平面的法向量,

所以与平面所成角的余弦值为            .4分
（2），设平面PDC的法向量为，
则，取得
点到平面的距离      .8分
（3）假设存在，且设.
因为
所以，
设平面CAQ的法向量中，则
取，得.
平面CAD的一个法向量为，
因为二面角Q OC D的余弦值为，所以.
整理化简得：或（舍去），
所以存在，且                    13分