题目

题型：0112 期中题难度：来源：

已知点P（2，0）及圆C：。
（Ⅰ）若直线过点P且与圆心C的距离为1，求直线的方程；
（Ⅱ）设过P的直线与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（Ⅰ）设直线的斜率为k（k存在），则方程为y-0=k(x-2)，
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由，解得，
所以直线方程为，即；
当的斜率不存在时，的方程为x=2，经验证x=2也满足条件。
（Ⅱ）由于，而弦心距，
所以，
所以P为MN的中点，
故以MN为直径的圆Q的方程为。
（Ⅲ）把直线即，
代入圆C的方程，
消去y，整理得，
由于直线交圆C于A，B两点，
故，即，解得，
 则实数a的取值范围是，
设符合条件的实数a存在，
由于垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在上，
所以的斜率，而，所以。
由于，
 故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线垂直平分弦AB。