题目

题型：同步题难度：来源：

已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程；
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．

答案

解：（1）直线PQ的方程为y-3=×（x+1），即x+y-2=0，
C在PQ的中垂线y-=1×（x-），即y=x-1上，
设C（n，n-1），
则r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由题意，有r²=（2）²+|n|²，
∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5，r²=13或37（舍去），
∴圆C为（x-1）²+y²=13．
（2）设直线l的方程为x+y+m=0，
由，得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1-m，x₁x₂=，
∵∠AOB=90°，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，
∴m²+m-12=0，∴m=3或-4（均满足Δ＞0），
∴l为x+y+3=0或x+y-4=0．