题目

题型：四川省高考真题难度：来源：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=-3时，求直线l的方程。

答案

解：（Ⅰ）∵抛物线，即，
∴，
∴焦点为，
（1）直线l的斜率不存在时，显然有；
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b，即直线l：y=kx+b，
由已知得：
，
即l的斜率存在时，不可能经过焦点；
所以当且仅当时，直线l经过抛物线的焦点F。
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=-3时，直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b，
则由（Ⅰ）得：，
所以直线l的方程为，即x-4y+41=0。