题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，直线 l₁：y=kx+1-k（k≠0，k≠±）与l₂：相交于点P，直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}。
（1）证明，n∈N*；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）比较2|PP_n|²与4k²|PP₁|²+5的大小。

答案

解：（1）设点P_n的坐标是，
由已知条件得点Q_n、P_n+1的坐标分别是：
由P_n+1在直线l₁上，得
所以
即。
（2）由题设知
又由（1）知，
所以数列是首项为公比为的等比数列
从而
即。
（3）由得点P的坐标为（1，1）
所以

（i）当，即或时
>1+9=10
而此时
所以
故
（ii）当，即时，＜1+9=10
而此时
所以
故。