题目

题型：北京难度：来源：

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标
（III）求BC所在直线的方程．

答案

（I）由点A（2，8）在抛物线y²=2px上，有8²=2p•2解得p=16
所以抛物线方程为y²=32x，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得

AF

FM

=2；
设点M的坐标为（x₀，y₀），则

2+2x0

1+2

=8，

8+2y0

1+2

=0解得x₀=11，y₀=-4所以点M的坐标为（11，-4）

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为y+4=k（x-11）（k≠0）
由

y+4=k(x-11) y2=32x

消x得ky²-32y-32（11k+4）=0
所以y1+y2=

32

k

由（II）的结论得

y1+y2

2

=-4解得k=-4
因此BC所在直线的方程为y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．