设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．
（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线L的方程． |
（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可设G（a，b），则M（0，b）．
∴a=，b=，即 x=3a，y=3b （1）．
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即 = （2）．
由（1）（2）得 x2+= 1．所以，三角形顶点C的轨迹方程为 x2+= 1，（xy≠0）．
（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x1，y1），N （x2，y2），
由 消y得 （3+k2）x2+2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，
∴△=b2-4ac=4k2+8（3+k2）＞0，x1+x2=-，x1•x2=-．
∵OP⊥ON，∴x1•x2+y1y2=0，∴x1•x2+（kx1+1）（kx2+1）=0．
∴1+k2（-）+k （-）+1=0，∴k=±，
∴直线l的方程为 y=± x+1． |
核心考点
试题【设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直】；主要考察你对
直线方程的几种形式等知识点的理解。
[详细]举一反三
过点P（0，1）且以=(-1，2)为方向向量的直线方程为（ ）| A．y=-2x+1 | B．y=2x+1 | C．y=-x+1 | D．y=x+1 |
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已知圆O：x2+y2=1（点O为坐标原点），一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆+y2=1交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（x），求f（k）的表达式；
（2）若•=，求直线l的方程． |
| 求与点P（4，3）的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程． |
下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（ ）| A．2x-y-1=0 | B．x-2y+1=0 | C．x+2y+1=0 | D．x+y-1=0 |
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已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（2，-3）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求椭圆以M（-1，2）为中点的弦所在直线的方程． |
