题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）已知函数在点x=1处的切线与直线垂直，且f（-1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值.

答案

f（x）在[0，3]最小值为ln2+5.

解析

本题考查利用导数的性质求函数在闭区间上的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为
，令f^′(1)= ，得b=4，又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，所以c=5，f′(x)= -2x+4，由f′（x）=0，得x= ，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．
解：与直线垂直的直线的斜率为，又f（－1）=ln（2－1）－1－4+c=0，所以c=5， ，由，当时，f′（x）≥ 0，f（x）单调递增；当时，f′（x）≤ 0，f（x）单调递减.
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5.