题目

题型：辽宁难度：来源：

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，

AF

=2

FB

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=

15

4

，求椭圆C的方程．

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
（1）直线l的方程为y=

3

(x+c)，其中c=

a2-b2

．
联立

y= 3 (x+c) x2 a2 + y2 b2 =1

 得 (3a2+b2)y2-2

3

b2cy-3b4=0．
解得y1=

3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

3 b2(c-2a)

3a2+b2

．
因为

AF

=2

FB

，所以-y₁=2y₂．即-

3 b2(c+2a)

3a2+b2

=2 

3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
解得离心率e=

c

a

=

2

3

．（6分）
（2）因为|AB|=

1+ 1 k2

•|y2-y1|，∴

15

4

=

1+ 1 3

•

4 3 ab2

3a2+b2

．
由

c

a

=

2

3

 得b=

5

3

a，所以

5

4

a=

15

4

，解得a=3，b=

5

．
故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．（12分）