题目

题型：不详难度：来源：

（2013•湖北）如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C₁，C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂．
（1）当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，求λ的值；
（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂？并说明理由．

答案

解析

以题意可设椭圆C₁和C₂的方程分别为
，．其中a＞m＞n＞0，
．
（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则

，
，
所以．
在C₁和C₂的方程中分别令x=0，可得y_A=m，y_B=n，y_D=﹣m，
于是．
若，则，化简得λ²﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．
故当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，则．
（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂，根据对称性，

不妨设直线l：y=kx（k＞0），
点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d₁，d₂，则
，所以d₁=d₂．
又，所以，即|BD|=λ|AB|．
由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，
|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．
将l的方程分别与C₁和C₂的方程联立，可求得

根据对称性可知x_C=﹣x_B，x_D=﹣x_A，于是
②
从而由①和②可得
③
令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．
因为k≠0，所以k²＞0．于是③关于k有解，当且仅当，
等价于，由λ＞1，解得，
即，由λ＞1，解得，所以
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂．