题目

题型：模拟题难度：来源：

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点，
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
(3)若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

答案

解：(1)由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴，
即四棱锥P-ABCD的体积为；
(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
证明如下：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD，
∴BD⊥PC，
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE； (3)如图，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，
∵AD=AB=1，，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，
∴BF⊥AE，
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角，
在Rt△ADE中，，
又，
在△DFB中，由余弦定理得
，
∴，
即二面角D-AE-B的大小为。