题目

题型：0125 期末题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D为AB中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角C₁-AB-C的余弦值。

答案

解：（Ⅰ）在直三棱柱中，CC₁⊥底面ABC，
BC₁在底面上的射影为CB，
由AC=3，BC=4，AB=5可得AC⊥CB，
所以AC⊥BC₁；
（Ⅱ）设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁中点，
在中，连结OD，
D，O分别为的中点，
∴，
又，
∴；
（Ⅲ）过C作CE⊥AB于E，连结，
由，
故为二面角C₁-AB-C的平面角，
在△ABC中，，
在中，，
∴，
二面角的余弦值为。