题目
题型:广东省同步题难度:来源:
(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长;
(Ⅱ)求二面角A﹣BD﹣C的大小;
(Ⅲ)求点C到平面ABD的距离.
答案
∵△ABC是正三角形,
∴AE⊥BC.
又底面ABC⊥侧面BB1C1C,且两平面交线为BC,
∴AE⊥侧面BB1C1C.
连接ED,则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角.
∴∠ADE=45°.
在Rt△AED中,,
解得.
∴此正三棱柱的侧棱长为.
(Ⅱ)过E作EF⊥BD于F,连接AF.
∵AE⊥侧面BB1C1C,
∴EF是AF在平面BCD内的射影.
由三垂线定理,可知AF⊥BD.
∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角.
在Rt△BEF中,EF=BEsin∠EBF,又BE=1, ,
∴.又,∴在Rt△AEF中,.
故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,BD⊥平面AEF,
∴平面AEF⊥平面ABD,且交线为AF,过E作EG⊥AF于G,则EG⊥平面ABD.
∴EG的长为点E到平面ABD的距离.
在Rt△AEF中,.
∵E为BC中点,
∴点C到平面ABD的距离为.
核心考点
试题【如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2,D是侧棱CC1的中点,直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°. (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长; (Ⅱ)求】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P-CD-B余弦值的大小;
(3)求点C到平面PBD的距离.
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