题目

题型：月考题难度：来源：

已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的动点．
（1）当E恰为棱CC₁的中点时，试证明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一个点E，可以使二面角A₁﹣BD﹣E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A₁O，OE，
在等边△A₁BD中，BD⊥A₁O，
∵BD⊥A₁E，A₁O平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE，于是BD⊥OE，
∴∠A₁OE是二面角A₁﹣BD﹣E的平面角，
在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，
∵E是棱CC₁的中点，
∴由平面几何知识，得 ， ，A₁E=3a，满足 ，
∴∠A₁OE=90°，即平面A₁BD⊥平面EBD．
（2）解：在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
假设棱CC₁上存在点E，可以使二面角A₁﹣BD﹣E的大小为45°，
由（1）知，∠A₁OE=45°，
设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，EC=x，
由平面几何知识，得EO= ， ， ，
∴在△A₁OE中，由 ，
得x²﹣8ax﹣2a²=0，解得 ，
∵ ，
∴棱OC₁上不存在满足条件的点．