题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．
（1）求异面直线CC₁和AB的距离；
（2）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值。

答案

解：（1）因为AC=BC，D为AB的中点，
故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，
所以异面直线CC₁和AB的距离为：CD==。
（2）由CD⊥AB，CD⊥BB₁，
故CD⊥平面A₁ABB₁，
从而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，
故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角
因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，
又已知AB₁⊥A₁C，
由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，从而∠A₁AB₁，∠A₁DA都与∠B₁AB互余，
因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，
所以RT△A₁AD∽RT△B₁A₁A，因此=，
得=AD·A₁B₁=8，
从而A₁D==2，B₁D=A₁D=2
所以在三角形A₁DB₁中，cos∠A₁DB₁==。