题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，直三棱柱ABC-A"B"C"，∠BAC=90°，AB=AC=λAA"，点M，N分别为A"B和B"C"的中心。
（1）证明：MN∥平面A"ACC"；
（2）若二面角A"-MN-C为直二面角，求λ的值．

答案

解：（1）连接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，
三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点，
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′ 。
（2）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，
设AA′=1，则AB=AC=1，
于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）
所以M（），N（），
设=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，
由，得，
可取，
设=（x₂，y₂，z₂）是平面MNC的法向量，
由，得，
可取，
因为二面角A"-MN-C为直二面角，
所以，
即-3+（-1）×（-1）+λ²=0，
解得λ=。