题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC
（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角B-AP-C的大小。

答案

解：（1）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD
因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，
所以△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD
PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角
不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4
所以CD=2，OC===
在RT△OCP中，tan∠OCP===
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan。
（2）过D作DE⊥AP于E，连接CE
由已知，可得CD⊥平面PAB
根据三垂线定理知，CE⊥PA
所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角
由（1）知，DE=，
在RT△CDE中，tan∠CED===2，
故二面角B-AP-C的大小为arctan2。