题目

题型：辽宁省模拟题难度：来源：

在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，PA=AB=BC=CD=a.
（1） 求证：面PAD ⊥面PAC ；
（2）求二面角D-PB-C 的余弦值；
（3）求点D 到平面PBC 的距离；

答案

（1）证明：设PA=AB=BC=CD=a,连接AC，
在RT△ABC中，AC=a,
在直角梯形ABCD中易求得AD=a，
所以在△DAC中有：AD²+AC²=CD²，
∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD  
∴PA⊥AC    
∴AC⊥平面PAD
∵AC平面PAC    
∴面PAD ⊥面PAC                  
（2）解：以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示坐标系，
则：A （a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a)
设平面PBC的法向量为=(x′,y′,z′),平面PBD的法向量为=(x,y,z),
=(a,0,a), =(0,a,0), =(2a,a,0)  
由⊥，⊥,⊥，⊥得：
ax ′+az ′=0,y ′=0,ax+az=0,2ax+ay=0   ∴z ′=-x ′,y ′=0,y=-2x,z=-x  
∴=(1,0,-1), =(1,-2,-1)
∴
设二面角D-PB-C的平面角θ，由图形易知θ为锐角
∴
(3)解：
设D到平面PBC的距离为d，则