题目

题型：上海高考真题难度：来源：

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）。凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管。考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面。
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）。

答案

解：（1）设△的重心为H，连结
由题意可得，
设细钢管上下两段之比为
已知凳子高度为
则
∵节点O与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行
∴就是OB与平面所成的角，亦即，
∵
∴
解得，
即节点分细钢管上下两段的比值约为0.63；
（2）设
∴
设△的重心为H，则
由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知
设过点的细钢管分别为，
则

∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm。