题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点。
（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；
（2）求证：PA⊥平面CDM；
（3）求二面角D-MC-B的余弦值。

答案

解：（1）取DC的中点O，
由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC
又∵平面PDC⊥底面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD于O
连结OA，则OA是PA在底面上的射影
∴∠PAO就是PA与底面所成角
∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，
从而求得OA=OP=
∴∠PAO=45°
∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°。
（2）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，
DC=2，DO=1，有OA⊥DC
建立空间直角坐标系如图，则
，
由M为PB中点
∴
∴

∴

∴PA⊥DM，PA⊥DC
∴PA⊥平面DMC；（3）
令平面BMC的法向量，
则
从而x+z=0； ……①

从而  ②
由①、②，取x=-1，则
∴可取
由（2）知平面CDM的法向量可取，
∴
∴所求二面角的余弦值为-。