题目

题型：山东省月考题难度：来源：

如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（1）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（2）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．  

答案

解：（1）证明：连接AC，BD交于O，连OF
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF平面ACF，BE平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（2）过E作EH⊥AD于H，连接BH，
∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，
AD平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的边长AD=5．
又∵CD∥AB，
∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE为直角三角形，
∴BE= = ，
∴ ，且 ，
在RT△EHB中， ．
直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．