题目

题型：广东模拟难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB∥MN，PD⊥底面ABCD，

AB

AD

=2，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA、PB的中点．
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）当

CD

AB

的值为多少时，∠CND为直角？

答案

（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD．
又MN是△PAB的中位线，∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD，
∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角，
由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，
∴∠PMD=120°．
即所求二面角P-MN-D的大小为120°．



（Ⅱ）令

CD

AB

=X，不妨设AD=2，则PD=

2	3

，AB=4，CD=X，AB=4X．
以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
D（0，0，0），N（1，2，

3

），C（0，4x，0），
∴

DN

（1，2，

3

），

CN

（1，2-4x，

3

），
若∠CND为直角，则必有

DN

⊥

CN

，
即

DN

•

CN

=0
于是有1×1+2(2-4x)+

3

×

3

=0，解得x=1．
∴当

CD

AB

=1时，∠CND为直角．