题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点。

（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（2）求点D₁到面BDE的距离。

答案

解：（1）取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD₁中点，
∴FM∥D₁D且FM=D₁D
又EC=CC₁，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC₁
又CM⊥面DBD₁
∴EF⊥面DBD₁
∵BD₁面DBD₁，
∴EF⊥BD₁
故EF为BD₁与CC₁的公垂线。
（2）连结ED₁，有
由（1）知EF⊥面DBD₁，
设点D₁到面BDE的距离为d，
则S_△DBC·d=S_△DBD·EF
∵AA₁=2·AB=1
∴
∴
∴
故点D₁到平面BDE的距离为。