题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

答案

解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为点O
连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE
∵AD⊥PB，
∴AD⊥OB，
∵PA=PD，
∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=，
即点P到平面ABCD的距离为。（2）如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，
则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC
∵AD⊥PB，
∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角
∵AD⊥面POB，
∴AD⊥EG
又∵PE=BE，
∴EG⊥PB，且∠PEG=60°
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=
在Rt△PEG中，EG=AD=1
于是tan∠GAE=，
又∠AGF=π-∠GAE
所以所求二面角的大小为π-arctan。