题目

题型：不详难度：来源：

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．
（1）求AC₁的长；
（2）求BD₁与AC夹角的余弦值．

答案

设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，则两两夹角为60°，且模均为1．
（1）

AC1

=

AC

+

CC1

=

AB

+

AD

+

AA1

=

a

+

b

+

c

．
∴|

AC1

|²=（

a

+

b

+

c

）²=|

a

|²+|

b

|²+|

c

|²+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

a

•

c

=3+6×1×1×

1

2

=6，
∴|

AC1

|=

6

，即AC₁的长为

6

．
（2）

BD1

=

BD

+

DD1

=

AD

-

AB

+

AA1

=

b

-

a

+

c

．
∴

BD1

•

AC

=（

b

-

a

+

c

）•（

a

+

b

）
=

a

•

b

-

a

²+

a

•

c

+

b

²-

a

•

b

+

b

•

c

=1．
|

BD1

|=

( b - a + c )2

=

2

，|

AC

|=

( a + b )2

=

3

，
∴cos＜

BD1

，

AC

＞=

BD1 • AC

| BD1 |•| AC |

=

1

2 × 3

=

6

6

．
∴BD₁与AC夹角的余弦值为

6

6

．