题目

题型：解答题难度：困难来源：上海高考真题

已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，] 上是减函数，在[，+∞)上是增函数，
（1）如果函数y=x+（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g（x）=xⁿ+（c＞0）的单调性，并说明理由。

答案

解：（1）由已知得=4，
∴b=4；
（2）∵c∈[1，4]，
∴∈[1，2]，
于是，当x=时，函数f（x）=x+取得最小值2，
f（1）-f（2）=，
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+；
当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c；
（3）设0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=，
当＜x₁＜x₂时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在[，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在（0，]上是减函数；
当n是奇数时，g（x）是奇函数，函数g（x）在（-∞，-]上是增函数，在[-，0）上是减函数；
当n是偶数时，g（x）是偶函数，函数g（x）在（-∞，-）上是减函数，在[-，0]上是增函数。