题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，平面平面ABCD，
ABCD为正方形，是直角三角形，
且，E、F、G分别是
线段PA，PD，CD的中点.
（1）求证：∥面EFC；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，
使得点A到面EFQ的距离为0.8. 若存在，
求出CQ的值；若不存在，请说明理由.

答案

（2）（3）点A到面EFQ的距离为0.8

解析

解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面.
又H为AB中点，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG.
（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD
所成的角.在Rt△MAE中，，
同理，又，
∴在MGE中，，
故异面直线EG与BD所成的角为.
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足
题设条件. 过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，
则QR∥AD.∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，
且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又∵ABPA=A，∴AD⊥面PAB.
又∵E，F分别是PA，PD中点，∴EF∥AD，∴EF⊥面PAB.
又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，
∴AT就是点A到面EFQ的距离.
设，则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，.
故存在点Q，当时，点A到面EFQ的距离为0.8.
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则,
,
.
（1）∵，，
设，即，
解得.∴，又∵不共线，
∴共面. ∵PB面EFG，∴PB∥面EFG.
（2）∵，
∴.故异面直线EG与BD所成的角为
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，令，则DQ=2-m，
∴点Q的坐标为，∴. 而，设平面EFQ的法向量为n=(x，y，z)，则，
∴. 令x=1，则.
又，∴点A到面EFQ的距离，
即，∴.
故存在点Q，当时，点A到面EFQ的距离为0.8.