题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，
，，．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

图7

答案

略

解析

解法一（Ⅰ）取的中点，连结、．

因为∥，∥，所以∥．
又因为，，所以．
所以四边形是平行四边形，∥．                   ……分
在等腰中，是的中点，所以．
因为平面，平面，所以．
而，所以平面．
又因为∥，所以平面．                      ……分
（Ⅱ）因为平面，平面，所以平面平面．
过点作于，则平面，所以．
过点作于，连结，则平面，所以．
所以是二面角的平面角．                                     ……分
在中，．
因为，所以是等边三角形．又，所以
，．
在中，．
所以二面角的余弦值是．                                             ……分

解法二  （Ⅰ）因为平面，∥，所以平面．
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
相关各点的坐标分别是，，，
，，．        ……分                   
所以，，．
因为，，
所以，．而，所以平面．……分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．
设是平面的一个法向量，由 得
即．取，则．
设是平面的一个法向量，由 得
即．取，，则．
……分
设二面角的大小为，则
．                             
故二面角的余弦值是．      ……分