题目
题型:不详难度:来源:
如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,△ABD和△BCD均为等边三角形,AB=2,AC=
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角A—BC—D的余弦值;
(3)求点O到平面ACD的距离.
答案
∵△ABD和△CBD为等边三角形,O为BD的中点,
∴AO⊥BD,CO⊥BD,又AB=2,AC=,
∴AO= CO=.…………………………3分
在△AOC中,∵AO2+ CO2= AC2,
∴∠AOC=90o,即AO⊥OC.
∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.………………4分
(2)过O作OE⊥BC于E,连接AE,∵AO⊥平面BCD,
∴AE在平面BCD上的射影为OE,∴AE⊥BC,
∴∠AEO为二面角A—BC—D的平面角.………………6分
在Rt△AEO中,AO=,OE=,
tan∠AEO==2,cos∠AEO=,
∴二面角A—BC—D的余弦值为.……………………8分
(3)设点O到平面ACD的距离为h.
∵VO—ACD= VA—OCD,∴S△ACD·h—=S△OCD·AO.
在△ACD中,AD= CD=2,AC=,
S△ACD=·.
而AO=,S△OCD=,
∴,
∴点O到平面ACD的距离为.…………………………12分
解法二:(1)同解法一.……………………………………4分
(2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则…………5分
∵AO⊥平面BCD,
∴平面BCD的法向量=(0,0,)…………6分
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
=(0,-1,-),=(,1,0).
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(3)设平面ACD的法向量m=(x,y,z),
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∵h=,
∴点O到平面ACD的距离为.…………………………12分
解析
核心考点
试题【.(本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,△ABD和△BCD均为等边三角形,AB=2,AC=(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A—】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥的底面为菱形,平面,,分别为的中点,.
(Ⅰ)求证:平面.
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
A. | B.arccos | C. | D.arccos |
如图,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD =90o,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点,AO交BD于E.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求二面角P—DC—B的大小;
A.充分必要条件 | B.充分非必要条件 |
C.必要非充分条件 | D.既非充分也非必要条件 |
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