题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:MN//平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PMC⊥平面PCD;
(Ⅲ)若二面角P—MC—A是60°的二面角,求四棱锥P—ABCD的体积。
答案
证明:(Ⅰ)如答图所示,⑴设PD的中点为E,连结AE、NE,
由N为PD的中点知ENDC,
又ABCD是矩形,∴DCAB,∴ENAB
又M是AB的中点,∴ENAN, …3分
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE,而AE平面PAD,NM平面PAD
∴MN∥平面PAD …4分
(Ⅱ)∵PA=AD,∴AE⊥PD,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD …6分
∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,
∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,又MN平面PMC,
∴平面PMC⊥平面PCD. …8分
(Ⅲ)解:过A作AH⊥CM,交CM的延长线于H,连PH.
∵PA⊥平面ABCD,AH⊥CH,∴PH⊥CH, ∴∠PHA是二面角P-MC-A的平面角,
∴AH= … 10分
又∵Rt△MHA∽Rt△MBC,
∴ …12分
∴ …14分
解法二:(Ⅱ)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为轴、轴、轴建系
设AB="b " (b>0) 面PMC法向量 面PDC法向量
∵ ∴面PMC面PDC …8分
(Ⅲ)面MCA法向量 ∵二面角P—MC—A是60°的二面角
∴ ∴ …12分
∴ …14分
解析
核心考点
试题【((本题14分)如图3,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=。 (Ⅰ)求证:MN//平面PA】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.3 | B. | C. | D.4 |
(1)求证:;
(2)求四面体体积的最大值。
(1)求作平面PAD与平面PBC的交线,并加以证明;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值;
(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值。
(I)求证:MN∥平面PCD;
(II)在棱PC上是否存在点E,使得AE上平面PBD?若存在,求出AE与平面PBC所成角的正弦值,若不存在,请说明理由
①MN∥平面CDEF;
②;
③该几何体的表面积等于;
④该几何体的外接球(几何体的所有顶点都在球面上)的体积等于.
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