题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，四棱锥中,底面,四边形中, ,, ,,E为中点.
（1）求证：CD⊥面PAC；（2）求:异面直线BE与AC所成角的余弦值；

答案

（1）见解析 （2） 90°

解析

试题分析：（1）（6分）   
∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD      ∴PA⊥CD       2分
∵,，且 AB=BC=2
∴∠ABC=90°，AC=2，∠CAD=45°
∵AD=4         ∴CD=2
∵CD²+AC²=AD²          ∴AC⊥CD                4分
∵AC∩PA=A             ∴CD⊥面PAC         6分
（2）（6分）解：
方法一：以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则A（0,0,0），B（2,0，0），C（2,2,0），P（0,0,2）          2分
∵E是PC中点
∴E（1,1,1）           
                  4分
∵
∴BE⊥AC       ∴BE与AC所成的角为90°    6分
方法二：作AC中点O，连结EO
∵E、O分别是PC、AC中点
∴EO//PA
∵PA⊥面ABCD       ∴EO⊥面ABCD
∴EO⊥AC
可证得ABCG是正方形    ∴AC⊥BO
∵BO∩EO=O         ∴AC⊥面BEO
∴AC⊥BE       ∴BE与AC所成的角为90°
方法三：作PD中点F，AD中点G
∵AD2BC，AG=GD   
∴四边形ABCG是正方形，且BG//CD  ∴BO
∵EF是△PCD的中位线   ∴EF
∴EFBO       ∴BEFO
∴BE与AC所成的角等于OF与AC所成的角
PB=2，BC=2，PC=        ∴PB⊥BC
∵E是PC中点       ∴BE=
PD=    ∴AF=
∵AO=，OF=BE=，AF=  ∴∠AOF=90° 即BE与AC所成的角为90°
点评：立体几何的求解有两大思路。其一：几何法，依据线面的位置关系，长度关系推理计算：其二，代数法，利用空间坐标系，点的坐标转化为向量运算