题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点为的中点，为中点.

（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．

答案

（1）证明：见解析；（2）；（3） 。

解析

试题分析：(I)根据面面垂直的判定定理，证明：ＰＤ⊥平面ＡＢＭ即可.
（II）本小题易建立直角坐标系，然后利用向量法求解，设平面ABM的法向量,
则求解即可.
(III) 设所求距离为h，利用求距离即可.
（1）证明： 因为 ，为中点 ， 所以  AＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，
所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.                         ------------   4 分
（向量法也可）
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，

设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.
设所求角为，则，         ------------ 8 分
（3）设所求距离为，由，
得：                  ----------------------  12分
点评：掌握线线，线面，面面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角的定义，点到平面的距离的常见求法是求解此类问题的基础.