题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在对角线A₁C₁上，记二面角P-AB-C为α，二面角P-BC-A为β。

(1)当A₁P：PC₁=1：3时，求cos（α+β）的大小。
（2）点P是线段A₁C₁(包括端点)上的一个动点，问：当点P在什么位置时，α+β有最小值？

答案

（1）- （2）P为A₁C₁的中点

解析

试题分析： 
作PO⊥面ABCD于O，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴点O在线段AC上，且AO：OC=1:3
∴α=∠PEO，β=∠PFO       
EO=，FO=，PO=1，PE=，PF=        2分
cosα=，sinα=，cosβ=， sinβ=
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ==-  4分
（2）（8分）
设A₁P=kA₁C₁，k∈[0,1]                                5分
由第（1）题可知α=∠PEO，β=∠PFO
EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=  
cosα=，sinα=，cosβ=，
sinβ=                   7分
当k=0或1时，即点P与A₁或C₁重合时，其中一个角为，另一个角为，
此时α+β=，tan（α+β）= -1                                        8分
∴当k≠0，且k≠1时，tanα=，tanβ=
∴tan（α+β）
=       11分
∵k∈（0,1）   ∴     ∴tan（α+β）∈  
∵         ∴
∴tan（α+β）=时，α+β有最小值，此时k=时，即点P为A₁C₁的中点。  14分
点评：本题有一定难度，多章节知识的综合