题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，点是的中点，点是的中点,连接,.

（1）求证：面；
（2）若,，求二面角的余弦值.

答案

（1）证法1：取的中点，连接
证法2：连接并延长交的延长线于点，连接
证法3：取的中点，连接
（2）

解析

（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）
（1）证法1：取的中点，连接，
∵点是的中点,
∴.    …………… 1分
∵点是的中点，底面是正方形，
∴.  …………… 2分
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.                …………… 3分
∵平面，平面，
∴面.             …………… 4分
证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，
∵点是的中点，
∴, …………… 1分
∴点是的中点.         …………… 2分
∵点是的中点,
∴.                            …………… 3分
∵面，平面，
∴面.                    …………… 4分
证法3：取的中点，连接，
∵点是的中点，点是的中点,
∴，.
∵面，平面，
∴面.                       ………… 1分
∵面，平面，
∴面.                 ……… 2分
∵，平面，平面，
∴平面面.    …………… 3分
∵平面，
∴面.         …………… 4分
（2）解法1：∵，面，
∴面.        …………… 5分
∵面，
∴.                          ………… 6分
过作，垂足为，连接，
∵，面，面，
∴面.                  …………… 7分
∵面，
∴.                         ……… 8分
∴是二面角的平面角.       ………… 9分
在Rt△中，,，得，
…………… 10分
在Rt△中，，得，
.                      …………… 11分
在Rt△中，，  ……… 12分
.              ……… 13分
∴二面角的余弦值为.         ………… 14分
解法2：∵，面，
∴面.
在Rt△中，,，得，
…………… 5分
以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，               …………… 6分
则.
∴，. …………… 8分
设平面的法向量为，
由，，
得
令，得，.
∴是平面的一个法向量.               …………… 11分
又是平面的一个法向量，              …………… 12分
.                       …………… 13分
∴二面角的余弦值为.                   …………… 14分