题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值.

答案

（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  
（2）．

解析

试题分析：（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， 
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  
（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；，，
，．
设，则，，
∵，
∴ ， ∴    
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为．
∵二面角M-BQ-C为30，
∴ ．
点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理.