题目

题型：不详难度：来源：

如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,,.

（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.

答案

（1）见解析；（2）.

解析

试题分析：（1）欲证平面，根据线面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，连接，设与相交于点O，连接，根据中位线定理可知∥，⊂平面，⊄平面，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的判定定理可知平面⊥平面，作，垂足为E，则⊥平面，然后求出棱长，最后根据四棱锥，的体积,即可求四棱锥的体积.

（1）证明:连接,设与相交于点,连接,
∵ 四边形是平行四边形,
∴点为的中点.                   
∵为的中点，
∴为△的中位线,
∴ .                  
∵平面,平面,
∴平面.            
(2)∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面，
∵，，
在Rt△中，，，
∴四棱锥的体积 
.
∴四棱锥的体积为.