题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.
(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.
答案
(Ⅱ)
解析
试题分析:(I)要求四面体ABCD的体积,必须确定它的高和底面,由已知,△ABC作为底面,高易作,根据线段的长度,即可求得四面体ABCD的体积;
(Ⅱ)利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角,根据该角为60°,找到各边之间的关系,利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角,解三角形,即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值.
解:(I)设F为AC的中点,由于AD=CD,
所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD,
知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,
AF=ADcos30°=,
在Rt△ABC中,因AC=2AF=2,AB=2BC,
由勾股定理易知BC=,AB=.
故四面体ABCD的体积V==.
(II)设G,H分别为边CD,BC的中点,则FG∥AD,GH∥BC,
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角.
设E为边AB的中点,则EF∥BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB,
又由(I)有DF⊥平面ABC,故由三垂线定理知DE⊥AB,
所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角,由题设知∠DEF=60°.
设AD=a,则DF=AD•SsinCAD=,
在Rt△DEF中,EF=DF•cotDEF==,
取BD的中点M,连EM,FM,由中位线定理得,∠MEF为异面直线AD,BC所成的角,
EM=FM=,由余弦定理得cosMEF===.
点评:此题是个中档题.考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题,求解方法一般是平移法,找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用,体现了数形结合和转化的思想.
核心考点
试题【(12分)(2011•重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABC】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:CE⊥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
(1)证明:O1′,A′,O2,B四点共面;
(2)设G为A A′中点,延长A′O1′到H′,使得O1′H′=A′O1′.证明:BO2′⊥平面H′B′G
(I) 求证:CF⊥C1E;
(II) 求二面角E﹣CF﹣C1的大小.
(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
A. B. C. D.
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