题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE。AB：AD：AA₁=1：2：4。
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值。

答案

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A₁（0，0，4），
（1）易得
于是
所以异面直线EF与A₁D所成角的余弦值为；
（2）易知

，于是
因此，AF⊥EA₁，AF⊥ED
又EA₁∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED；
（3）设平面EFD的法向量
则即
不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）
由（2）可知为平面A₁ED的一个法向量，于是
从而
所以二面角A₁-ED-F的正弦值为。