题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°，（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小。

答案

（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，
可得，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB。
（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，
所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角，
在△PAB中，由余弦定理，得
，
由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，
于是△PBC是直角三角形，
故，
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为。 （Ⅲ）解：过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，
因为AD⊥平面PAB，PH平面PAB，
所以AD⊥PH，又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影，
由三垂线定理可知，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。
由题设可得，
，
，
，
于是在Rt△PHE中，，
所以二面角P-BD-A的大小为．