题目

题型：不详难度：来源：

在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=

3

，且AD⊥BC，对角线BD=

13

2

，AC=

3

2

，AC和BD所成的角是（　　）

A． π 3

B． π 4

C． π 2

D． π 12

答案

分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，


连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI
∵△BCD中，GE是中位线，∴GE∥BD且GE=

1

2

BD
同理可得FI∥BD且FI=

1

2

BD
∴GE∥FI且GE=FI，得四边形EGFI是平行四边形
∵FG∥AC，GE∥BD
∴∠FGE（或其补角）是异面直线AC和BD所成的角
同理可得∠GHI（或其补角）是异面直线AD和BC所成的角
∵AD⊥BC，∴∠GHI=90°
∵GH=

1

2

BC=

3

2

，HI=

1

2

AD=

1

2

，∴GI=

GH2+HI2

=1
∵平行四边形EGFI中，FI=GE=

1

2

BD=

3

4

，FG=EI=

1

2

AC=

13

4

∴EF²+GI²=2（EI²+FI²），得EF²+1=2（

13

16

+

3

16

），解得EF=1
因此，GF²+GE²=1=EF²，可得∠FGE=

π

2

∴异面直线AC和BD所成的角为

π

2

故选：C