题目

题型：不详难度：来源：

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：BC⊥AE 
（2）求AE与D₁F所成的角； 
（3）设AA₁=1，求点F到平面DBB₁D₁ 的距离．

答案

（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴BC⊥平面AA₁B₁B，


∵AE⊂平面AA₁B₁B，∴BC⊥AE 
（2）取AB的中点P，并连结A₁P，EP
正方形AA₁B₁B中，可得△A₁AP≌△ABE，
∴A₁P⊥AE，
∵AD

∥

.

A₁D₁

∥

.

PF，
∴四边形A₁D₁FP是平行四边形，可得A₁P∥D₁F
即AE⊥D₁F，所以AE与D₁F所成的角为90°
（3）过F作FG⊥BD于G，
∵BB₁⊥平面ABCD，FG⊂平面ABCD，
∴BB₁⊥FG
∵FG⊥BD，BD∩BB₁=B，
∴FG⊥平面DBB₁D₁，可得F到平面DBB₁D₁的距离是FG的长度，
∵正方形ABCD中，FG的长度等于CA长度的

1

4

∴F到平面DBB₁D₁ 的距离等于

1

4

AC=

2

4