题目
题型:淄博一模难度:来源:
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小.
答案
解法一:(Ⅰ)∵PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CD⊥AB.
又PC∩CD=C,∴AB⊥平面PCB.
(Ⅱ)过点A作AF∥BC,且AF=BC,连接PF,CF.则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.
由(Ⅰ)可得AB⊥BC,∴CF⊥AF. 由三垂线定理,得PF⊥AF.则AF=CF=
2 |
PC2+CF^ |
6 |
在Rt△PFA中,tan∠PAF=
PF |
AF |
| ||
|
3 |
π |
3 |
∴异面直线PA与BC所成的角为
π |
3 |
(Ⅲ)取AP的中点E,连接CE、DE.
∵PC=AC=2,∴CE⊥PA,CE=
2 |
∵CD⊥平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DE⊥PA.
∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角.
由(Ⅰ)AB⊥平面PCB,又∵AB=BC,AC=2,∴BC=
2 |
在Rt△PCB中,PB=
PC2+BC2 |
6 |
PC•BC |
PB |
2×
| ||
|
2 | ||
|
在Rt△CDE中,sin∠CED=
CD |
CE |
| ||||
|
| ||
3 |
∴二面角C-PA-B的大小为arcsin
| ||
3 |
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)由(Ⅰ)AB⊥平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=
2 |
以B为原点,如图建立坐标系.则A(0,
2 |
2 |
2 |
AP |
2 |
2 |
BC |
2 |
∴cos<
AP |
BC |
| ||||
|
|
2 | ||||
2
|
1 |
2 |
∴异面直线AP与BC所成的角为
π |
3 |
(Ⅲ)设平面PAB的法向量为
m |
AB |
2 |
AP |
2 |
2 |
则
|
|
m |
2 |
设平面PAC的法向量为
n |
PC |
AC |
2 |
2 |
则
|
|
n |
∴cos<
m |
n |
| ||||
|
|
| ||||
|
| ||
3 |
∴二面角C-PA-B的大小为arccos
| ||
3 |
核心考点
试题【如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCB;(Ⅱ)求异面直线AP与】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
1 |
2 |
(1)求异面直线AB与CE所成角的大小.
(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.
π |
6 |
l |
r |
A.
| B.
| C.
| D.
|
C | 1 |
A.90° | B.45° | C.60° | D.30° |
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