题目

题型：不详难度：来源：

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，
平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

答案

（1）证明见试题解析；（2）.

解析

试题分析：（1）①根据在处取得极值，求导将带入到导函数中，联立方程组求出的值；②存在性恒成立问题，，只需，进入通过求导求出的极值，最值.（2）当的未知时，要根据中分子是二次函数形式按进行讨论.
试题解析：（1）定义域为.
①,
因为在处取和极值，故,
即，解得.
②由题意：存在，使得不等式成立，则只需
由，令则，令则或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
所以在处取得极小值，
而最大值需要比较的大小,
,
,
比较与4的大小，而，所以

所以
所以.
（2）当 时，
①当时，则在上单调递增；
②当时，∵ ，则在上单调递增；
③当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；
综上可得，.