题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E。
（1）证明：PA⊥BD；
（2）点M为直线PA上的一点，当点M在何位置时有PA⊥平面BDM，并证明；
（3）判断平面PAD与平面PAB是否垂直，并证明你的结论。

答案

（1）证明：∵PB=PC，且O是BC的中点，
∴PO⊥BC，
又∵平面PBC⊥平面 ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BD平面ABCD，
∴PO⊥BD，
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，
∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA= 90°，即AO⊥BD，
又∵PO∩AO=O，
∴BD⊥平面PAO，
∵PA平面PAO，
∴PA⊥BD。 （2）解：当点M为PA的中点时符合题意。
下面证明这个结论：
连接BM、DM，由于AB=PB，则PA⊥BM，
又PA⊥BD，所以PA⊥平面BDM。
故当点M为PA中点时PA⊥平面BDM。
（3）解：平面PAD⊥平面PAB，
下面证明这个结论：
取PB的中点N，连接CN，
∵PC=BC，
∴CN⊥PB，    ①
∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴AB⊥平面PBC，AB平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB，      ②
由①，②可知，CN⊥平面PAB，
连接MN，则由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形，
∴CN∥DM，DM⊥平面PAB。