题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2。
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。

答案

解：（1）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD
又AB∥CD
所以BE⊥AB
又因为PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，
所以PA⊥BE
而PA∩AB=A
因此BE⊥平面PAB
又平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB。
（2）过点A作AH⊥PB于H，由（1）知平面PBE⊥平面PAB
所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG
则AG⊥PF
连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是。