题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。
（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的余弦值。

答案

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz
（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC
故PQ⊥平面DCQ
又PQ平面PQC，
所以平面PQC⊥平面DCQ。
（2）依题意有B（1，0，1），
设是平面PBC的法向量，则
即
因此可取
设m是平面PBQ的法向量，则
可取
所以
故二面角Q-BP-C的余弦值为-。